Introduction

Que vient faire l’algèbre dans les bases de données ?

• Jusqu’à présent nous nous sommes concentrés sur les concepts de la structuration des données
• On va maintenant s’intéresser à comment interroger une base de données pour obtenir les informations qui y sont stockées
• La solution est de définir un langage à base d’opérateurs algébriques pour manipuler les tables et les relations
• Ce langage est l’algèbre relationnelle

Exemple

Exemple

La gestion des étudiants

Une gestion d’étudiants à l’université pourrait se résumer, de manière simple, aux entités suivantes :

• Étudiants : nom, prénom, numero, date de naissance, date de première inscription, régime de sécurité sociale, etc.
• Enseignants : numero de sécurité sociale, nom, prénom, date de naissance, emploi occupé, salaire, catégorie, date de titularisation, nombre d’enfants, adresse, téléphone, etc.
• UFR (Unité de Formation et de Recherche) : nom, responsable, bâtiment, téléphone, secrétariat, diplômes préparés, modules, cours, etc.
• Inscriptions : étudiants, UFR, cours et diplômes, etc.
• Affectation des enseignants : calcul des services d’enseignement, congés, modification de salaires, etc

Exemple

Questions qui pourraient être posées

1. Qui suit le cours de BDD et qui le donne ?
2. À quels cours est inscrit Lulu ?
3. Qui donne les cours de Droit ?
4. Quels sont les professeurs de Toto et de Zoé ?
5. Quels sont les étudiants inscrits à au moins un cours ?
6. Quels sont les étudiants qui suivent tous les cours ?
7. Quel est le nombre d’étudiants inscrits au cours de BD ?
8. Quels sont les étudiants de Michel et de Roland ?

Algèbre : Rappel

Définition d’une algèbre

Une algèbre est un ensemble d’opérateurs de base, formellement définis, qui peuvent être combinés à souhait pour construire des expressions algébriques

Algèbre: Rappel

• Les opérateurs arithmétiques : +, - , x, /
• les opérateurs logiques : ∧, ∨, ￢ (AND, OR, NOT)
• Chaque opérateur à une arité
  • Exemples d’opérateurs binaires : +, - , *, /
  • Exemple d’opérateurs unaires : ￢, - (NOT, négation)
• Règles de construction des opérateurs ou axiomes
  • Axiomes pour +, x (associativité, commutativité, distributivité, etc.)
  • Axiomes (loi de Morgan) pour ∧ et ∨
• Une algèbre est dite fermée si le résultat de tout opérateur est du même type que les opérandes (ce qui est indispensable pour construire des expressions)

L’algèbre relationnelle

• L’algèbre relationnelle a été proposée par Codd en 1970
  • Elle est composée d’une collection d’opérateurs algébriques unaires ou binaires
  • Possibilité de composition des opérateurs (propriétés de fermeture de l’algèbre relationnelle)
• Une requête relationnelle est la composition d’un nombre fini d’opérateurs algébriques
  • L’ordre d’évaluation des opérateurs a un impact sur le temps de réponse du SGBD
  • Principe de l’optimisation des requêtes

Il existe 2 notations pour l’algèbre relationnelle !

• avec des symboles mathématiques ( π, σ, ⍴ ) (Pi, Sigma, Rho)
• ou bien une notation textuelle utilisant le nom des relations et des caractères [], (), x, :, ET, OU, etc.

Les deux sont correctes, vous pouvez utiliser celle que vous préférez. La notation textuelle est plus simple à écrire sur ordinateur…

Les opérateurs de l’algèbre relationnelle

Les opérateurs ensemblistes

1. Union : R ∪ S
2. Intersection : R ∩ S
3. Différence : R - S (ou R ≏ S)
4. Complément : −R (ou R’)

Les opérateurs spécifiques à l’algèbre relationnelle

1. La projection : R[A] ( aussi représentée avec le symbole Pi : πA )
2. La sélection : R:(C) ( aussi représentée avec le symbole Sigma : σφ )
3. Le produit cartésien : x
4. La jointure : R(C) x S ( aussi représentée avec le symbole Noeud Papillon : ⋈ )
5. La Division : R/S
6. Le renommage : R[A|B] ( aussi symbolisé par Rho : ρ a|b )

Rappel de vocabulaire

Une TABLE = une RELATION

On pourra faire référence à un attribut d’une relation en utilisant la notation : Relation.Attribut