Exercices

Exercice 1

Énoncé

Soit une relation R1 de schéma :

R1 (A, B, C, D, E, F)

Avec l’ensemble de dépendances suivant :

{
  AB → C
  AB → D
  AB → E
  AB → F
  B → C
  D → E
  D → F
}

1. Quelle est la couverture minimale de dépendances ? Déssinez son graphe.

2. Quelles est la clé de R1 ?

3. Quelle est la forme normale de R1 ?

4. On décompose la relation R1 en R11 et R12 :

R11(A, B, D, E, F)

et

R12(B,C)

Quelles sont les formes normales des relations R11 et R12 ?

5. Proposer une décomposition sans perte d’information de R11.

Solution

Soit une relation R1 de schéma :

R1 (A, B, C, D, E, F)

1. Quelle est la couverture minimale de dépendances ?

L’ensemble des dépendances est :

{
  AB → C
  AB → D
  AB → E
  AB → F
  B → C
  D → E
  D → F
}

Par défaut, on peut dessiner le graphe suivant :

    
flowchart LR
  AB --> C
  AB --> D
  AB --> E
  AB --> F
  B --> C
  D --> E
  D --> F

Par transitivité, on peut :

• supprimer AB → E et AB → F, car AB → D et D → EF :
• Supprimer B → C car AB → C et B → C :

    
flowchart LR
  AB --> C
  AB --> D
  D --> E
  D --> F

L’ensemble minimum de dépendances fonctionnelles de R1 est donc :

{ AB → C, AB → D, D → E, D → F }

Solution alternative :

Par transitivité, on peut :

• supprimer AB → E et AB → F, car AB → D et D → EF :
• Supprimer AB → C car B → C:

    
flowchart LR
  AB --> D
  D --> E
  D --> F
  B --> C

L’ensemble minimum de dépendances fonctionnelles de R1 est donc :

{ AB → C, AB → D, D → E, D → F }
ou
{ AB → D, B → C, D → E, D → F }

2. Quelles est la clé de R1 ?

La clé AB est la seule clé candidate car on observe que les attributs A et B déterminent tous les autres attributs de la relation

3. Quelle est la forme normale de R1 ?

Cette relation est en première forme normale mais :

• pas en 2FN car il y a un attribut qui ne fait pas partie de la clé C qui dépend d’une partie de la clé B
• pas en 3FN car il y a une dépendance transitive D → E et D → F

4. On décompose la relation R1 en R11 et R12 :

La relation R11 est en deuxième forme normale et pas en troisième normale car il subsiste une dépendance transitive. La relation R12 est en BCNF.

5. Proposer une décomposition sans perte d’information de R11.

On peut décomposer R11 en R112(D, E, F) et R112(A,B,D) sans perte d’information.